Mình có cách này,không chắc lắm:

\(VT=\frac{a}{a\left(a^2+bc+1\right)}+\frac{b}{b\left(b^2+ac+1\right)}+\frac{c}{c\left(c^2+ab+1\right)}\) (làm tắt,bạn tự hiểu nha)

\(=\frac{1}{a^2+bc+1}+\frac{1}{b^2+ac+1}+\frac{1}{c^2+ab+1}\)

\(\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\left[\left(1+1+1\right)-\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\right]\)

\(=1-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô si với biểu thức trong ngoặc:

\(=1-\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt[3]{a}-1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{\sqrt[3]{b}-1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{\sqrt[3]{c}-1}{\sqrt[3]{c}}\right)\)

\(\le1-\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{a}-1\right)\left(\sqrt[3]{b}-1\right)\left(\sqrt[3]{c-1}\right)}\le1^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Ta c/m bđt sau: 

\(a^3+1\ge a^2+a\)

\(\Leftrightarrow a^3+1-a^2-a\ge0\Leftrightarrow a\left(a^2-1\right)-\left(a^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^3+a+1}\le\frac{a}{a^2+2a}=\frac{1}{a+2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\le\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)

Đặt \((a,b,c)\rightarrow(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2y}+1-\frac{y}{y+2z}+1-\frac{z}{z+2x}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\right)\)\(\le\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}\right)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Thấy mọe rồi,lúc đó t ngốc quá nên làm nhầm.

Đặt: 

\(P=\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\)

Ta c/m:

\(a^3+1\ge a^2+a\Leftrightarrow a^3-a^2-\left(a-1\right)\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)\ge0\Rightarrow DPCM\)

\(\Rightarrow P\le\frac{a}{a^2+2a}+\frac{b}{b^2+2b}+\frac{c}{c^2+2c}=\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\)

Áp dụng bđt Sac- xơ ngược ta được:

\(\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{4}{2}+\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{4}{2}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{1}{c}+\frac{4}{2}\right)\)

\(=\frac{2}{3}+\frac{ab+bc+ca}{9}\)

Ta cần c/m: \(\frac{2}{3}+\frac{ab+bc+ca}{9}\le1\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{9}\le\frac{1}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)

Tiếp nhé:

Áp dụng bđt AM-GM ta được:

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3\)  (do abc=1)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

=>DPCM

Bài này anh nhờ 1 người bạn trên fb giúp

Ah có cáh khác a ~    

Bài này có ở đề cương thi HSG huyện trường a ~

Áp dụng BĐT AG-GM ta có : 

\(a^3 +a\ge2a^2\)

\(c^3+c\ge2c^2\)

Đặt biểu thức là T ta có :

\(\frac{a}{a^3+a+1}+\frac{b}{b^3+b+1}+\frac{c}{c^3+c+1}\le\frac{a}{2a^2+1}+\frac{b}{2b^2+1}+\frac{c}{2c^2+1}\le\frac{a}{a^2+2a}+\frac{b}{b^2+2b}+\frac{c}{c^2+2c}\)

\(\Rightarrow T\le\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\left(1\right)\)

Vì  \(abc=1\Rightarrow\left(a,b,c\right)=\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\left(x,y,z>0\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=\frac{y}{x+2y}+\frac{z}{y+2z}+\frac{x}{z+2x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2y}+1-\frac{y}{y+2z}+1-\frac{z}{z+2x}\right)\)

\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2zy}+\frac{z^2}{z^2+2xz}\right)\)

\(\le\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2xy+y^2+2zy+z^2+2xz}\)

\(=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\) (2)

Theo BĐT  Cauchy-Schwarz   ta có :

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow T\le1\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

BĐT <=> \(\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+2}+1-\frac{b^2}{b^2+2}+1-\frac{c^2}{c^2+2}\le2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)

Theo BĐT Svacxo:

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+6}=1\)

Vậy ta có đpcm.

P/s: Đúng ko ta?

Theo giả thiết ta có: các bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức cần chứng minh

\(\frac{a}{4-c}+\frac{b}{4-a}+\frac{c}{4-b}\le1\)

\(\Rightarrow a\left(4-a\right)\left(4-b\right)+b\left(4-b\right)\left(4-c\right)\)\(+c\left(4-c\right)\left(4-a\right)\le\left(4-a\right)\left(4-b\right)\)\(\left(4-c\right)\)

\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc\le4\)

Bất đẳng thức trên mang tính hoán vị giữa các bất đẳng thức nên không mất tính tổng quát ta giả swr c nằm giwuax a và b khi đó ta có:

\(a\left(a-c\right)\left(b-c\right)\le0\)

Thực hiện phép khai triển ta được: \(a^2b+c^2a\le a^2c+abc\)rồi cộng thêm \(\left(b^2c+abc\right)\)vào 2 vế ta được:

\(a^2b+b^2c+c^2a+abc\)\(\le a^2c+b^2c+2abc=c\left(a+b\right)^2\)

Áp dụng Bất Đẳng Thức AM-GM ta có:

\(c\left(a+b\right)^2=\frac{1}{2}2c\left(a+b\right)\left(a+b\right)\)\(\le\frac{\left(2c+a+b+a+b\right)^3}{2.27}=4\)nên Bất Đẳng Thức đã được chứng minh

Vậy \(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\le1\)( đpcm )

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :

\(\left(a^3+b^3+1\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự : \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a^2}{\left(a+b+c\right)^2};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+b^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Cộng 3 BĐT trên lại theo vế, ta được :

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Ta thấy \(\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc;\frac{1}{b}=\frac{abc}{b}=ac;\frac{1}{c}=\frac{abc}{c}=ab\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{2\left(ab+bc+ac\right)+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Cách khác anh Thanh Tùng DZ

Ta có BĐT sau:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) ( khó quá chứng minh ko nổi )

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=1\)

Dấu "=' xảy ra tại a=b=c=1

cái trên xét hiệu là xong mà .

\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) 

mà cái đề phải là thực dương mới đúng